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APRENDENDO SOBRE LOGARÍTMOS
APRENDENDO SOBRE LOGARÍTMOS

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1 - INTRODUÇÃO

O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a ideia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir.

Assim, por exemplo, como sabemos que 42 = 16 , onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é?
Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log416 = 2.

Outros exemplos:
152 = 225, logo: log15225 = 2
63 = 216, logo: log6216 = 3
54 = 625, logo: log5625 = 4
70 = 1, logo: log71 = 0

2 - DEFINIÇÃO

Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação bx = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.

Exemplos:
a) log28 = 3 porque 23 = 8.
b) log41 = 0 porque 40 = 1.
c) log39 = 2 porque 32 = 9.
d) log55 = 1 porque 51 = 5.

Notas:

1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N.

Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional
e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim,
logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.

Exemplos:
a) log100 = 2 porque 102 = 100.
b) log1000 = 3 porque 103 = 1000.
c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2.
d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3.

(Extraído do site: www.algosobre.com.br).

 




 

 

Sabemos que a melhor forma de aprender Matemática é simplesmente treinando, fazendo muitos exercícos, pois como o corpo necessita de exercícios para se desenvolver, nossa mente também precisa.

1) log264 =

log264 = x     =>>>     2x = 64     =>>>     2x = 26     (Não precisamos mais das bases).

x = 6.

A incógnita x pode ser substituída por qualquer letra; x é mais usado apenas por convenção.

Observe que as bases precisam ser exatamente iguais. Como o log está na base 2, o  logaritmando (64) também precisa ficar na base 2.  Para isso, usamos o processo da divisão em fatores primos:

64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1  

 

 

 

 

 

 

 

 

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2  =  26

2) log5625

log5625 = x     =>>>     5x = 625     =>>>    5x = 54   

x = 4.

625 5
125 5
25 5
5 5
1  

 

 

 

 

 

5x5x5x5 = 54

No caso acima, fatoramos o 625 e obtivemos como resultado, 54. Não se esqueça: As bases  (Neste caso a base é o algarismo 5) precisam ser iguais, de um lado e do outro lado.

3) log327

log327 = x     =>>>>    3x  =  27     =>>>>>     3x  =  33

x  =  3.

27 3
9 3
3 3
1  

 

 

 

 

3x3x3 = 33

4) log4256

log4256 = x     =>>>>     4x = 256     =>>>>> 24 x 24 = 44

4x = 44 >===    x = 4 (Lembre-se: Não precisamos mais das bases; só dos expoentes).

256 2
128 2
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2x2x2x2x2x2x2 = 24 x 24 = 44

5) log1515

log1515 = x     =>>> 

15x  = 31x51    =>>>    15x = 151 =>  x = 1. (Não se esqueça: não precisamos mais das bases; só dos expoentes).

15 3
5 5
1  

 

 

 

 

Este excelente vídeo de apoio vai ajudar na compreensão do assunto:

vídeo log

O vídeo abaixo é continuação deste assunto:

vídeo log

 

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Antes de continuar, vamos revisar alguns conceitos sobre potenciação e radiciação.

√3 é o mesmo que √31

Agora nós precisamos retirar o algarismo 3 da raiz. Isso vai transformar o expoente numa fração. Preste bem atenção: a raiz é quadrada (2). A base é 3 e a potência é 1. Então, ao tirarmos da raiz, o algarismo fica assim:

31/2

Lemos: três elevado a um meio.  

O vídeo abaixo nos dará uma explicação a mais para este assunto:

  

Vejamos o mesmo exemplo com outro algarismo:

√5é o mesmo que √51       

Aplicando o mesmo princípio acima, fica assim:

51/2

Lemos: cinco elevado a um meio

Para tirarmos um algarismo de uma raiz, conservamos a base. O expoente do algarismo se transforma em numerador e o índice da raiz (raiz quadrada (2), cúbica (3), quarta (4), etc, se transformam em denominador.     

Outro caso, ainda com raiz quadrada: 

√23

Neste novo exemplo, a base é 2, o  expoente é 3 e a raiz ainda é quadrada. Então, ao tirarmos da raiz, o algarismo fica assim:

23/2

Lemos: dois elevado a três meios.

Vamos abordar agora um caso com raiz cúbica. 


Base = 4; expoente = 2; índice de raiz = 3. Então, ao tirarmos da raiz, o resultado fica assim:

42/3 

Lemos: quatro elevado a dois terços.

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Vejamos o caso da figura abaixo (raiz cúbica de sete):

Base = 7; expoente = 1; raiz = 3. Então, ao tirarmos a raiz, o resultado fica assim:

Lemos: sete elevado a um terço.

Quando temos raízes fracionárias, fazemos a extração da raiz do numerador e do denominador. Numerador igual a 1 a raiz é igual a 1.

Para efeito de convenção, sabemos que 12 é igual a 1. Sabemos também que a raiz de 9 é igual a 32. Desta forma, a nova representação ficará conforme a figura:

   

Agora, cancelamos as potências com a raiz e assim, o algarismo final tem a aparência a seguir:

O resultado final é 1/3.  

Vamos analisar o caso abaixo:

     

Fatoramos o algarismo 32 e encontramos como resultado, 25. Elevamos a este expoente para acompanharmos a raiz, que é quinta. Se fosse raiz quarta, o algarismo deveria ser elevado a 4ª potência no momento da fatoração. Também sabemos que 15   é igual a 1. Veja o resultado a seguir:

Agora, cancelamos as potências com a raiz e assim, o algarismo final tem a aparência a seguir: 

1/2.

Mais uma vez chamamos a atenção para o índice da raiz, que no caso é 3. Por isso, faturamos o numerador e o denominador de forma que a potência seja cubo.

Agora que índice de raiz e potências de numerador e denominador estão equalizadas, podemos eliminá-las e tirar o algarismo da raiz. O resultado é:

2/3.

Mais uma vez encontramos uma raiz  cúbica. Portanto, numerador e denominador deverão estar elevados ao cubo. Fatorando os dois, ficamos assim:

Agora, cancelamos raiz com potências:

O resultado final é:

4/5.

Vamos relembrar mais alguns antigos conceitos sobre simplificação de radicais:

Precisamos, mais uma vez, simplificar este radical, fazendo a decomposição em fatores primos do radicando (2048).

Ao fazer a decomposição, percebemos que a potência do radicando é 11 e a potência do radical é 10. Vamos, então, resolver esta questão:

Observe que, agora, o radicando tem um termo que está elevado a 10, mesma situação do radical, e outra que está elevada a 1. Vamos eliminar o radicando elevado a 10.

Agora que temos as potências equalizadas, podemos cancelar a potência com a raiz do primeiro e manter o segundo:

Cancelamos a potência e a raiz do primeiro termo, deixando apenas o número inteiro que multiplica a raiz do segundo termo. Veja o resultado final desta simplificação:

Vamos a outro caso:

Vamos simplificar ao máximo o radicando:

Embora as raízes não sejam iguais em valores, elas são divisíveis uma pela outra. Realizamos então a simplificação:

Como ambos são divisíveis por 5, efetuamos a operação e o resultado final aparece a seguir:

 

Vamos fazer mais alguns exercícios para colocarmos em prática o que aprendermos até agora:

Primeiro, equalizamos potência e raiz:

Agora vamos eliminar o radical e a potência:

O resultado final é: 3.

Vejamos mais um caso de simplificação de radicais:

Neste caso, a raiz é maior que a potência. Então, vamos precisar dividir o radical pela potência do radicando.

Como potência e raízes são múltiplos entre si, então dividimos um pelo outro. E este é o resultado final:

Vejamos agora alguns casos de simplificação envolvendo frações:

O primeiro passo é separar as raízes:

Em seguida, equalizamos potências com raízes:

Este é o resultado final:

 



Continuamos os exemplos:

Vamos separar as raízes:

Agora que fizemos a separação, vamos equalizar potências com raízes:

Em seguida, cancelamos potências com raízes:

E agora, o resultado final:

 Agora, vamos ao próximo exemplo:

Vamos separar em duas raízes distintas:

Em seguida, simplificamos o que for possível; no caso, apenas o denominador:

Ao fazermos a finalização, teremos o resultado a seguir:

Comentário: O exercício acima abordado, é  um importantíssimo capítulo da Matemática, que trata da racionalização de denominadores. Futuramente falaremos com mais detalhes sobre este assunto, pois caso contrário, não conseguiremos dar sequência ao estudo dos logaritmos.

Para finalizar esta introdução, vamos abordar as potências de expoentes fracionários e então, retornar aos exercícios de logaritmos.

Já falamos bem rapidamente sobre este assunto, mas agora vamos abordá-lo de forma mais profunda.

O valor do radicando (raiz quadrada) vale 2, embora não precisemos colocar este algarismo lá, pois sabemos que, não havendo um algarismo, a raiz é quadrada.

A base é 2 e o seu expoente é 1.

Sabemos que qualquer algarismo está elevado a 1, mas como isto é sabido e notório, não precisamos colocar o 1 acima do algarismo 2; mas ele está lá!

Assim, para tirarmos o algarismo 2 de dentro da raiz quadrada, conservamos a base, o expoente se torna numerador e o valor do radicando se torna denominador, ficando o novo valor assim expresso:

21/2

Vejamos outro exemplo:

Agora, os algarismos são todos visíveis:

Radicando vale 5, base vale 3 e a potência vale 2. Seguindo-se o mesmo raciocínio realizado no exercício anterior, conservamos a base e elevamos a potência como numerador e o radicando como denominador, ficando o novo algarismo assim representado:

32/5

Lemos: três elevado a dois quintos.

 Vamos então ao penúltimo exemplo:

Executando os mesmos procedimentos do exercício anterior, o resultado final é:

23/4

Lemos: dois elevado a três quartos.

 

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E agora, o último exemplo:

O resultado final é: X2/3

 

Agora, vamos fazer três exemplos inversos, ou seja, números elevados a determinada potência, que serão transformados em raízes:

Conforme já vimos em exercícios anteriores, o denominador equivale à raiz, o numerador é a potência e a base é o algarismo que fica dentro da raiz:

Mais um exemplo:

O resultado final, seguindo o mesmo raciocínio acima fica assim:

Observem que o algarismo 1 não precisa ser escrito, pois qualquer algarismo elevado a 1 é igual ao próprio algarismo.

E para finalizar:

O resultado final, seguindo o mesmo raciocínio acima fica assim:

Agora que fizemos uma boa revisão, podemos retornar aos exercícios de logaritmos.

 

log416 =    =>>>   log416 = x   =>>>   4x = 16   =>>>   4x = 42   =>>>   x = 2.

Não se esqueçam: Não precisamos mais das bases, só dos expoentes!

log3 1     =>>>   log3 =  x   =>>>   3x  =  1     =>>>   3x  =  1     =>>>   3x = 3- 3   

      27                       27                               27                         33

x = - 3.

Não se esqueça: ao passar um denominador de certa fração para expoente, este algarismo fica negativo!

Nos dois casos a seguir, veremos o mesmo algarismo calculado com logs diferentes:

a) log381   =>>>  log381 = c    =>>>    3c = 81   =>>>   3c = 34   =>>>   c = 4.

b) log981   =>>>   log981 = c   =>>>   9c = 81   =>>>   9c = 92   =>>>   c = 2.

Perceberam a diferença? A base do logaritmo é quem determina seu valor. Este tipo de situação é muito usado em vários setores da economia.

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Vamos fazer outro exercício semelhante ao anterior, para ficarmos craques no assunto!

a) log416   =>>>   log416 = y   =>>>   4y = 16   =>>>  4y = 42   =>>>   y = 2.

b) log216   =>>>    log216 = y   =>>>   2y = 16   =>>>   2y = 24   =>>>   y = 4. 

Agora, seguindo uma sequência de imagens, vamos resolver mais um exercício:

Não se esqueça que 64 é igual a  641

    

    Multiplicamos a potência do algarismo 2 (algarismo 6) pela potência fracionária (1/3).

6 . 1/3  => 6/1 . 1/3  => 6/3. Simplificamos, dividindo numerador e denominador por 3 e sobra: 2/1 que é o mesmo que 2 (Veja a continuação na figura abaixo):

Agora que encontramos as potências, podemos excluir as bases.

2x = 22

x = 2.

log     1         =>>>   log    1       =  x   =>>>   Neste caso, a base 10 fica apenas subentendida.

      1000                          1000

Entretanto, na hora de fazer o exercício, ele passa a ficar visível, tal como acontece no expoente 1 e na fração, onde o número está sob 1, mas não precisa ser mostrado.

10x 1

          103

     =>>>     10x = 10- 3   (Relembrando: ao subirmos o denominador para o lugar do numerador, a potência torna-se negativa) =>>>   x = - 3 (Lembrete: não precisamos mais das bases, só dos expoentes).

log   1       =>>>     log     1     = x     =>>>     10x  =    1      =>>>     10x = 10- 2  

      100                          100                                        100

x = -2

O excelente vídeo abaixo vai dar maiores esclarecimentos sobre este assunto:

vídeo log 3

log 5   1    =>>>   5x  =   1      =>>>   5x  =  5- 2   =>>>   x = - 2.

          25                        25

log71   =>>>   log71 = x   =>>>   7x = 1   =>>>   7x = 70   =>>>   x = 0.

Comentário: qualquer número elevado a zero é igual a 1. Como a base do logaritmo é igual a sete, devemos colocar o logaritmando também na base sete.

Log91 => Log91 = x => 9x = 1 =>  9x = 90  =>  x = 0.

 

x  = 

        3

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